整数問題剰余の定理 ?整数係数のn次の整式fx=x^n+。αを。高校数学 ?整数係数のn次の整式f(x)=x^n+A1x^nー1+…+Anー1x+An(n>1)ついて、ある自然数k対て、k個の整数f(1)f(2)‥f(k)いずれkで割り切れなければ、方程式f(x)=0有理数の解たないこ証明する?
解答、?f(x)=0有理数解α持つならば、(1)α整数解である((1)で示)、α=kg+r(g、r整数、1≦r≦k)表せる?、r0以上でなく1以上なのなぜか 、0=f(α)=kの倍数+f(r)なるきf(1)f(2)‥f(k)の中kで割りきれるの存在する言えるのなぜか 分類。または正の整数,を用いて=+と表される整数全体の集合をとするは
整数であって≧を満たす整数は全ての整式がについての恒等式^
–=^+—+– を満たすとする。n次方程式の整数
解について1。2。??が整数のと – 余り, +^ で割ると 余る
整式のうちで, 次数が最も低い整式は ア 次式で,この整式の最高次の係数
は+{/x}= を満たす自然数の組x,x,x,…,xは有限個である
ことを

整数問題剰余の定理。基本の確認 ?剰余の定理? 多項式を?αで割ったときの余りはαに
等しい. 「剰余の定理」や「割り算の原理商と 多項式をn次式で割った
ときの余りはn-1次以下の多項式になる.の場合,有理数は和差積商
について閉じている有理数の和差積商は有理数であるから,有理係数多項式
の割り算では商も余りも有理係数になる.例題1 整数係数の多項式を
?で割ると余りが?になる. このときを?で割ったときの余りを
求めよ.

αを k で割って余りが 0 ということはα = k gですがα = k g-1 + kと書き換えてみると余りが k と言っても同じです。余り 0 の代わりに、余り k という表現を用いています。何故、そのようなずらした表現を使うのかというと、今調べているのがf1, f2, … , fkであり、変数が 1 ≦ x ≦ k だから、これに合わせて r も 1 ≦ r ≦ k という範囲でとっています。この方が fk についても他のと統一できるからです。α = kg +r を fα に代入して展開するとfα = {k について 1次以上の多項式} + frの形になります。fα = 0だったので、fα は k で割って余りが 0 です。つまりfα = {k について 1次以上の多項式} + frの右辺も k で割り切れます。特に fr は k で割り切れるということです。r は αを k で割った余りで、余り 0 は 余り k と表現を変えて1 ≦ r ≦ kという範囲の定数だったのでf1, f2, … , fkのどれか 1つは k で割り切れることになります。